Question

（2009•宜昌模拟）设⊙O：x2+y2=

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9

，直线l：x+3y-8=0，若点A∈l，使得⊙O上存在点B满足∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的横坐标的取值范围是

[0，

8

5

]

．

Answer 1

分析：当AB是圆的切线时∠OAB最大，当AB经过圆心时∠OAB最小且等于0°．而当A点距圆心O越近时，∠OAB的最大值越大；A距圆心越远时，∠OAB的最大值越小．只要使∠OAB的最大值不小于30°就行了，也就是要找到使∠OAB的最大值等于30°的两个点A，两个点A横坐标之间的区间即为所求．当∠OAB=30°时，连接OB，就得到一个∠OAB=30°的三角形，这时OA=2OB，只要求出在直线I上距圆心为

8

3

的点的横坐标即可．

解答：解：设点A（x，y）如图，当∠OAB=30°时，连接OB，就得到一个∠OAB=30°的三角形，这时OA=2OB，圆O的半径是

4

3

，那么只要求出在直线I上距圆心为

8

3

的点的横坐标，就是所求范围，
点A的坐标满足：（y-0）²+（x-0）²=(

8

3

)2 与 x+3y-8=0
解得x=0或x=

8

5

．
所以A的横坐标取值范围是[0，

8

5

]

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法．本题出现最多的问题题意理解不正确以及计算上的问题，平时要强化基本功的练习．