Question

已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，函数，求函数的值域．

Answer 1

（1）函数的定义域为；（2）函数是奇函数；（3）函数的值域为．

解析试题分析：（1）具有解析式的函数的定义域无特殊情况下，通常就是使解析式有意义的自变量的取值范围；通常关注的是：①开偶次方时被开方的式子为非负；②作为分母不得为零；③作为对数的真数必须为正；④作为对数的底数必须为正且不为；（2）奇、偶性的判断，首先必须关注定义域，定义域关于原点对称是函数具备奇、偶性的必要条件，接下来用定义或等价定义来判断；（3）求函数值域的方法很多，在大题中经常通过探讨函数单调性来达到求函数值域的目的，这里即是．
试题解析：（1）由得，则函数的定义域为．       4分
（2）当时，，
因此，函数是奇函数．                                              9分
（3）设，当时，
则函数在区间上是减函数，
故函数在区间上也是减函数．                                12分
（证明单调性也可用定义）
则，                            13分
因此，函数的值域为．                                         14分
考点：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等的综合应用．