Question

省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人.

(Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M；
(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.

Answer 1

（Ⅰ）73；（Ⅱ）选出的两人为“帮扶组”的概率为.

试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求平均数的公式为，其中为第组数据的频率，是第组数据的中间值.各组的频率等于小矩形的面积，由此求出各组数据的频率代入以上公式即得平均数.
（Ⅱ） 90～100分数段的人数为2人，据此可求得总人数为，再根据频率求得50～60分数段的人数为40×0.1=4人.将第一组和第五组的同学编号，然后一一列举出所有可能结果. 两人成绩差大于20，则这两人分别来自第一组和第五组，数出其中的个数，利用古典概型概率公式便得所求概率.
试题解析：（Ⅰ） 由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25，
70～80分的频率为0.45，80～90分的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；      2分
∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73（分）.       4分
（Ⅱ） ∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；
∴参加测试的总人数为 =40人，              5分
∴50～60分数段的人数为40×0.1=4人，             6分
设第一组50～60分数段的同学为A₁,A₂,A₃,A₄；第五组90～100分数段的同学为B₁,B₂    7分
则从中选出两人的选法有：
(A₁，A₂)，(A₁，A₃),(A₁，A₄),(A₁，B₁),(A₁，B₂),(A₂，A₃),(A₂，A₄),(A₂，B₁),(A₂，B₂),(A₃，A₄),(A₃，B₁),
(A₃，B₂),(A₄，B₁),(A₄，B₂),(B₁，B₂)，共15种；               9分
其中两人成绩差大于20的选法有：(A₁,B₁)，(A₁,B₂)，(A₂,B₁),(A₂,B₂),
(A₃,B₁),(A₃,B₂),(A₄,B₁),(A₄,B₂)共8种               11分
则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=            12分