Question

如果正实数a，b满足a^b=b^a．且a＜1，证明a=b．

Answer 1

分析：这道题可以有三种不同的证明方法．证法一的思路：由a^b=b^a，得blna=alnb，从而

lna

a

=

lnb

b

，考虑函数y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=

1-lnx

x2

.然后根据函数的单调性用反证法进行证明．
证法二的思路是因为0＜a＜1，a^b=b^a，所以blog_aa=alog_ab，即

b

a

=logab．然后根据对数函数的性质用反证法进行证明．
证法三的思路是假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明．

解答：证一：由a^b=b^a，得blna=alnb，从而

lna

a

=

lnb

b

考虑函数y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)，它的导数是y′=

1-lnx

x2

.
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0＜a＜1，b＞0，所以a^b＜1，从而b^a=a^b＜1．由b^a＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即

lna

a

≠

lnb

b

，
从而a^b≠b^a这与a^b=b^a矛盾
所以a=b
证二：因为0＜a＜1，a^b=b^a，
所以blog_aa=alog_ab，即

b

a

=logab
假如a＜b，则

b

a

＞1，但因a＜1，
根据对数函数的性质，
得logab＜logaa=1，从而

b

a

＞logab，这与

b

a

=logab矛盾
所以a不能小于b
假如a＞b，则

b

a

＜1，而log_ab＞1，这也与

b

a

=logab矛盾
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得a^ε＜1和(1+

ε

a

)a＞1，
所以aε＜(1+

ε

a

)a，aaaε＜aa(1+

ε

a

)a，aa+ε＜(a+ε)a，
即a^b＜b^a．这与a^b=b^a矛盾，所以a不能小于b
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得a^b＜b^a．
这于a^b=b^a矛盾，所以a不能大于b
因此a=b

点评：反证法是证明的一种重要方法，一题多证、举一反三能够有效地提高我们的证明能力．