【题目】已知函数.
(1)若在定义域内单调递增,求
的值;
(2)讨论的零点个数.
【答案】(1)(2)若
,
无零点;若
,
有两个零点;若
或
,
有一个零点.
【解析】
(1)求导得,设
,则
在
上单调递增,根据
、
、
与
分类讨论,找到令
恒成立的
的取值范围即可得解;
(2)分为、
、
、
、
和
分类讨论,根据(1)求得的单调性结合零点存在性定理,即可得解.
(1)由题意得的定义域为
,
,
设,则
,
在
上单调递增.
若,则
,所以当
,
,当
,
;
若,
,
,
所以在
上有唯一零点,设为
,
所以当,
,当
,
,当
,
;
若,
,所以当
,
,当
,
;
若,则
,
,
,
所以在
上有唯一零点,设为
,
所以当,
,当
,
,当
,
;
综上所述,若在其定义域内单调递增,则
.
(2)若,
在
上有唯一零点
;
由(1)知,时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以最小值为
,
若,则
,即
,
无零点;
若,则
,
有唯一零点;
若,则
,
,
在
上有唯一零点,
又 ,
,
所以,
所以在
上有唯一零点,所以
在
上有两个零点;
设,
,
在
上单调递增,
所以,即
,所以
,所以
;
若,当
时,
,
,
由(1)知在
上单调递增,所以
在
上有唯一零点;
若,
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
,
因为,所以
,
,
所以在
上有唯一零点;
综上,若,
无零点;若
,
有两个零点;若
或
,
有一个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底,
是
的中点。
(1)证明:直线平面
;
(2)点在棱
上,且直线
与底面
所成角为
,求二面角
的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形草坪如下图所示,已知:
米,
米,拟在这块草坪内铺设三条小路
、
和
,要求点
是
的中点,点
在边
上,点
在边
时上,且
.
(1)设,试求
的周长
关于
的函数解析式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召,某贫困县在精准推进上下功夫,在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业,药用昆虫的使用相应愈来愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆虫大量活动与繁殖,易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数(单位:个)与一定范围内的温度
(单位:
)有关,于是科研人员在
月份的
天中随机选取了
天进行研究,现收集了该种药物昆虫的
组观察数据如表:
日期 |
|
|
|
|
|
温度 | |||||
产卵数 |
(1)从这天中任选
天,记这
天药用昆虫的产卵数分别为
、
,求“事件
,
均不小于
”的概率?
(2)科研人员确定的研究方案是:先从这组数据中任选
组,用剩下的
组数据建立线性回归方程,再对被选取的
组数据进行检验.
①若选取的是月
日与
月
日这
组数据,请根据
月
日、
日和
日这三组数据,求出
关于
的线性回归方程?
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过个,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问①中所得的线性回归方程是否可靠?
附公式:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着时代的发展,A城市的竞争力、影响力日益卓著,这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展,目前A城市的常住人口大约为1300万.近日,某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷,参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下:
来A城市发展的理由 | 人数 | 合计 | |
自然环境 | 1.森林城市,空气清新 | 200 | 300 |
2.降水充足,气候怡人 | 100 | ||
人文环境 | 3.城市服务到位 | 150 | 700 |
4.创业氛围好 | 300 | ||
5.开放且包容 | 250 | ||
合计 | 1000 | 1000 |
(1)根据以上数据,预测400万25~44岁年龄的人中,选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;
(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”的概率;
(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性;在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性;请填写下面列联表,并判断是否有
的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关?
自然环境 | 人文环境 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附:,
.
P( | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定点、
,直线
、
相交于点
,且它们的斜率之积为
,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知定点,
,过点
的直线
与曲线
交于
、
两点 ,则直线
与
斜率之积是否为定值,若是求出定值;若不是请说明理由.
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