Question

【题目】已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a= f（ ），b=（lg3）f（lg3），c=（log2 ）f（log2 ），则（ ）
A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.a＞c＞b

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）
∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1， ∈（1，2）
∴F（2）＞F（ ）＞F（lg3）
∵ =﹣2，从而F（ ）=F（﹣2）=F（2）
∴F（ ）＞F（ ）＞F（lg3）
即 ＞ ＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
所以答案是：A
【考点精析】本题主要考查了对数值大小的比较和导数的几何意义的相关知识点，需要掌握几个重要的对数恒等式:，，;常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）；通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即才能正确解答此题．