Question

已知函数，函数．

（1）时，求函数的表达式；

（2）若a > 0，函数在上的最小值是2，求a的值；

（3）在 (2) 的条件下，求直线与函数的图象所围成图形的面积．

 

Answer 1

【答案】

 (1)当时，; 当时，

∴当时，; 当时，.

∴当时，函数  4分

(2) .(3) =。

 

【解析】本试题主要是考查了导数的运算，以及运用导数求解函数的最值，和定积分的几何意义求解曲边梯形的面积的综合运用

（1）时，利用f(x)和f’(x)得到函数的表达式；

（2）因为a > 0，对于函数在上的最小值是2，分析单调性确定最值在那个点取得为关键，

（3）在 (2) 的条件下，求直线与函数的图象所围成图形的面积，利用定积分的几何意义得到。

解：(1) ∵，

∴当时，; 当时，

∴当时，; 当时，.

∴当时，函数  4分

(2) ∵由⑴知当时， ，

∴当时，当且仅当时取等号.

∴函数在上的最小值是 ，由已知

∴依题.

(3) 由解得

∴直线与函数的图象所围成图形的面积

=    12分