Question

过椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1上一点P(x0，y0)向圆O：x2+y2=4引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．
（1）若

PA

•

PB

=0，求P点坐标；
（2）求直线AB的方程（用x₀，y₀表示）；
（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）

Answer 1

分析：（1）由题设知OAPB的正方形，由

x 2 0 + y 2 0 =8 x 2 0 8 + y 2 0 4 =1

?

x

2 0

=

32

4

=8，由此能导出P点坐标．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直线方程．
（3）由x0x+y0y=4得M(

4

x0

，0)、N(0，

4

y0

)，知S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

|

4

x0

|•|

4

y0

|=8•

1

|x0y0|

∵|x0y0|=4

2

|

x0

2 2

•

y0

2

|≤2

2

(

x 2 0

8

+

y 2 0

4

)=2

2

，由此能求出△MON面积的最小值．

解答：解：（1）∵

PA

•

PB

=0

∴PA⊥PB

∴OAPB的正方形
由

x 2 0 + y 2 0 =8 x 2 0 8 + y 2 0 4 =1

?

x

2 0

=

32

4

=8
∴x0=±2

2

∴P点坐标为（±2

2

，0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4
（3）由x0x+y0y=4得M(

4

x0

，0)、N(0，

4

y0

)
S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

|

4

x0

|•|

4

y0

|=8•

1

|x0y0|

∵|x0y0|=4

2

|

x0

2 2

•

y0

2

|≤2

2

(

x 2 0

8

+

y 2 0

4

)=2

2

∴S△MON=

8

|x0y0|

≥

8

2 2

=2

2

当且仅当|

x0

2 2

|=|

y0

2

|时，S△MONmin=2

2

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．