Question

【题目】已知椭圆，为其左焦点，在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不同的两点，以为直径的圆过原点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设椭圆的右焦点为，根据在椭圆上，利用椭圆的定义得到，又得解.

（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知，求得A，B坐标求解.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据以为直径的圆过原点，则，再利用直角三角形中线定理有，将韦达定理代入，两式联立求解.

（1）设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义：，

又，

，椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，

不妨设，则，，此时.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立，得，

由，得，

由韦达定理得，，

因为以为直径的圆过原点，

所以，

即，

即，满足式.

设的中点是，则，，

，

，当且仅当时等号成立，即，

又因为，所以的最大值为.