Question

设对于不大于的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足不等式，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得b＞0，求出这两个不等式的解集，由题意可得 a²-≤a-b，且 a+b≤a²+，0＜a≤．由此可得b小于或等于-a²+a+ 的最小值，且b小于或等于 a²-a+的最小值，由此求得实数b的取值范围．
解答：解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式可得，-＜x-a²＜，即 a²-＜x＜a²+．
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a²-≤a-b，且 a+b≤a²+，0＜a≤．
化简可得 b≤-a²+a+，且b≤a²-a+．
由于-a²+a+=-+∈[，]，故 b≤．
由于 a²-a+=+∈[，]．故 b≤．
综上可得 0＜b≤．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．