Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，求⊙O的半径的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的判定定理，只需连接OD，证明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，两条直线平行就可证明；
（2）根据切线的性质定理，连接过切点的半径，运用锐角三角函数的定义，用半径表示OA的长，再根据AB的长列方程求解．

解答：证明：（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则：OF⊥AC．
在Rt△OAF中，sinA=

OF

OA

=

3

5

，
∴OA=

5

3

OF，
又AB=OA+OB=5，
∴

5

3

OF+OF=5．
∴OF=

15

8

cm．

点评：此题主要考查了圆的切线的性质定理的证明，综合运用了切线的判定和性质，熟练运用锐角三角函数的定义表示出两条边之间的关系．