Question

求数列1，3a，5a²，7a³，…，(2n－1)a^n－1的前n项和．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：当a＝0时，原数列为1，0，0，0，…，所以其前n项和S_n＝1；

　　当a＝1时，原数列为1，3，5，7，…，(2n－1)，是公差为2的等差数列，所以其前n项和S_n＝n＝n²；

　　当a≠0且a≠1时，原数列是一等差数列和一等比数列对应项相乘得到的数列，

　　记S_n＝1＋3a＋5a²＋7a³＋…＋(2n－1)a^n－1，①

　　aS_n＝a＋3a²＋5a³＋…＋(2n－3)a^n－1＋(2n－1)aⁿ，②

　　①－②，得S_n－aS_n＝1＋2a＋2a²＋2a³＋…＋2a^n－1－(2n－1)aⁿ，

　　∴S_n(1－a)＝1－(2n－1)aⁿ＋2(a＋a²＋a³＋…＋a^n－1)

　　＝1－(2n－1)aⁿ＋2·

　　＝1－(2n－1)aⁿ＋

　　又a≠1，∴S_n＝．

@@思路分析：由于题中的字母a没有给任何条件，而它取值不同，数列就会变化，所以应对a的取值进行讨论．特别地当a≠0且a≠1时，原数列是一等差数列和一等比数列对应项相乘得到的数列，求其和的方法是错位相减法．

@@方法归纳：如果一个数列是由一等差数列和一等比数列对应项相乘得到的，则求该数列的前n项和时，应该用错位相减法．注意两边同乘公比后，一定要错位相减，目的是把很多项合并，进而转化为能求和．