Question

【题目】如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，易得BF∥GH，从而得证；
（2）以D为原点,直线DG，DE，DF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,通过求面BCD的一个法向量为和面BEF的一个法向量为，利用＝即可得解.

(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，

则GH为△ABF的中位线，

所以BF∥GH，

又BF平面CDG，GH平面CDG，

所以BF∥平面CDG.

（2）由题意可知，直线DG，DE，DF两两垂直，

以D为原点,直线DG，DE，DF分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,

,,，.

设平面BCD的一个法向量为＝,则有,得,

取,得,所以＝,

设平面BEF的一个法向量为＝,则有,得,

取,得,所以＝,

设平面BCD与平面BEF所成锐二面角为

则＝,

所以平面BCD与平面BEF所成锐二面角的余弦值为.