Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P使

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，则该椭圆的离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由“

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

”的结构特征，联想到在△PF₁F₂中运用由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF1F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

两者结合起来，可得到

a

|P F2|

=

c

|P F1|

，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex₀）=c（a-ex₀）解出x₀，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．

解答：解：在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF F2

=

|PF1|

sin∠PF2F1

则由已知得：

a

|P F2|

=

c

|P1F1|

，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
设点（x₀，y₀）由焦点半径公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x0=

a(c-a)

e(c+a)

=

a(e-1)

e(e+1)

由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则

a(e-1)

e(e+1)

＞-a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜-

2

-1或e＞

2

-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(

2

-1，1)，
故答案为：(

2

-1，1)．

点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．