Question

已知（x^lgx+1）ⁿ的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2000，则x的值为

10±

6

3

．

Answer 1

分析：利用二项式系数的定义求出末三项的二项式系数列出方程求得n值，据展开式中中间项的表示式，利用二项展开式的通项公式列出方程得解．

解答：解：∵（x^lgx+1）ⁿ的展开式最后三项二项式系数之和为22，中间一项为2000，
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=22，
即C_n²+C_n¹+C_n⁰=22，
∴n=6．
∴最中间一项第4项．
∴C₆³（x^lgx）³=2000，即x^3lgx=100．
∴3lgxlgx=lg100，
∴x=10±

6

3

故答案为：10±

6

3

点评：本题考查二项式系数及其性质，中间项的表示，本题解题的关键是二项展开式的通项公式的熟练应用，题目最后的数字不好运算，解题的时候要注意．