Question

【题目】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，且，设.

（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；

（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1），其中.（2）时，

【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得，这样可得高，再根据等腰直角三角形性质得， 最后根据梯形面积公式得 ，交代定义域．（2）利用导数求函数最值：先求导数 ，再求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接，根据对称性可得且，

所以， ， ，

所以 ，其中．

（2）记， ，

（）．

当时， ，当时， ，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即时， ．