Question

已知函数
若在上的最大值和最小值分别记为，求；
设若对恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）的取值范围．

试题分析：（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求，由函数得，求函数在闭区间最值，可用导数法，故求导得，由于，故需对进行讨论，分，，三种情况，利用单调性，分别求出最大值和最小值即可；（2）设若对恒成立，求的取值范围，可令，由，得，即在上的值域是集合的子集，即求在上的最大值和最小值，让最大值小于等于，最小值大于等于，即可求出的取值范围，结合（1）分，，，四种情况讨论即可．
（1）因为，所以，由于，
（ⅰ）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，
（ⅱ）当时，若，，在上是增函数，，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，
（ⅲ）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；
（2）令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由（I）知，
（ⅰ）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；
（ⅱ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，
（ⅲ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
（ⅳ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.
点评：本题主要考查函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证，分类讨论，分析问题和解决问题的综合解题能力．