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    精英家教网已知如图，椭圆方程为
    x2
    16
    +
    y2
    b2
    =1    （4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，
    F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角
    平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
    （1）求M点的轨迹T的方程；
    （2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
    分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；
    （2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（-4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．
    解答：精英家教网解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，
    ∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1
    ∴△PNM≌△PF1M
    ∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）
    ∴|OM|=
    1
    2
    |F2N|=
    1
    2
    （|F2P|+|PN|）=
    1
    2
    （|F2P|+|PF1|）
    ∵点P在椭圆上
    ∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）
    当点P在x轴上时，M与P重合
    ∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）

    精英家教网（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点
    A（-4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，
    分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．
    ∵同底等高的两个三角形的面积相等
    ∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）
    ∵kOE=
    1
    2

    ∴直线l1、l2的方程分别为：y=
    1
    2
    (x+4)    、y=
    1
    2
    (x-4)    （8分）
    设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，
    ∴x2+y2＜16（9分）
    分别解
    x2+y2＜16
    y=
    1
    2
    (x+4)
    与
    x2+y2＜16
    y=
    1
    2
    (x-4)

    得-4＜x＜2
    2
    5
    与-2
    2
    5
    ＜x＜4    （11分）
    ∵x，y∈Z
    ∴x为偶数，在(-4，2
    2
    5
    )    上x=-2，，0，2对应的y=1，2，3
    在(-2
    2
    5
    ，4)    上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1（13分）
    ∴满足条件的点Q存在，共有6个，
    它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）
    点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．
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    F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角

    平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

    （1）求M点的轨迹T的方程；

    （2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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    F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角

    平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

    （1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，

    试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点

    （平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？

    若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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