Question

（09年海淀区期末理）（14分）

       如图，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=

   （I）求证：BC₁//平面A₁DC；

   （II）求C₁到平面A₁DC的距离；

   （III）求二面角D―A₁C―A的大小。

 

Answer 1

解析：（I）证明：连结AC₁交A₁C于点G，连结DG，

       在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，

      

      

       …………2分

      

       …………4分

       解法一：（II）连结DC₁，设C₁到平面A₁DC的距离为h。

    四边形ACC₁A₁是平行四边形，

      

      

      

       …………6分

       在等边三角形ABC中，D为AB的中点，

      

       是A₁D在平面ABC内的射影，

       …………8分

      

       …………9分

   （III）过点D作交AC于E，过点D作交A₁C于F，连结EF。

      

      

      

      

      

       是二面角D―A₁C―A的平面角，…………12分

       在直角三角形ADC中，

       同理可求：

      

      

       …………14分

       解法二：过点A作交BC于O，过点O作交B₁C₁于E。

因为平面

       所以，分别以CB、OE、OA所在的直线为建立空间直角坐标系，

如图所示，因为是等边三角形，所以O为BC的中点，则

   

      

       …………6分

   （II）设平面A₁DC的法向量为

       则

      

      

       取……8分

    …………10分

   （III）同（II）可求平面ACA₁的一个法向量为…………12分

       设二面角D―A₁C―A的大小为

      

       …………14分