Question

【题目】如图，斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，为的中点，平面，点在上，，为与的交点，且与平面所成的角为．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连结，证明相似得到，得到证明.

（2）以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.

（1）连结，为的中点，，，

又，，．

又平面，平面，所以平面．

（2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，平面，

所以，，，两两垂直，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

与平面所成的角为，又∥，与平面所成的角为，

又平面，与平面所成的角为，即．

又是边长为2的正三角形，为的中点，，

由题意知，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

所以，，即，取，

设平面的法向量为，

由，得，取，

所以，

设二面角的大小为，．

所以二面角的正弦值为．