Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）定义域易得，利用反解自变量的方法求值域即可．
（2）先把函数分离常数，在分底数和1的大小两种情况再结合复合函数的单调性来判断即可．

解答：解：（1）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0当且仅当-

y+1

y-1

＞0时，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=

(ax+1)-2

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°当a＞1时，∵a^x+1为增函数，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

为减函数，从而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

为增函数．
2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

为减函数．

点评：本题是对函数定义域和值域以及单调性的综合考查．在利用复合函数的单调性时，其原则是；单调性相同为增，单调性相反为减，且乘正数单调性不变，乘负数单调性相反．