Question

已知抛物线C：y²=4x，P（x₀，y₀）（y₀＞0）为抛物线上一点，Q为P关于x轴对称的点，O为坐标原点．
（1）若S_△POQ=2，求P点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用P（x₀，y₀）（y₀＞0）为抛物线上一点，S_△POQ=2，建立方程，即可求P点的坐标；
（2）设直线AB的方程与抛物线联立，利用韦达定理，及k₁k₂=4，化简可得结论．

解答：（1）解：由题意得，S△POQ=

1

2

x02y0=2，∴

y03

4

=2，∴y₀=2，即P（1，2）…（4分）
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
直线与抛物线联立得y²-4my-4b=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b
由k₁k₂=4，即

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=4，整理得

y1y2-2(y1+y2)+4

x1x2-(x1+x2)+1

=4
即

y1y2-2(y1+y2)+4

1 16 y1y2- 1 4 [(y1+y2)2-2y1y2]+1

=4，
把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）

点评：本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．