Question

已知函数,其中.

（I）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

（II）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（I）的取值范围是；（II）的最大值为；

【解析】

试题分析：（I）由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,

由,得,

因为,所以  3分

令,则,故在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为,从而的取值范围是       5分

（II）,

由题意知对恒成立,

即对恒成立,

即  ①对恒成立   7分

当时,①式显然成立;                                  8分

当时,①式可化为    ②,

令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 

9分

即,其等价于   ③ ,

因为③在时有解,所以,解得.

从而的最大值为           12分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、极值，最终确定最值情况。涉及恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到解题目的。