Question

【题目】已知函数（）.

（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若， 恒成立，求的最大整数值.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上没有极值点；当时， 在上有一个极值点.

（2）3.

【解析】试题分析：

(1)首先对函数求导，然后分类讨论可得当时， 在上没有极值点；当时， 在上有一个极值点.

(2)结合题中所给的条件构造新函数（），结合函数的性质可得实数的最大整数值为3.

试题解析：

（1）的定义域为，且.

当时， 在上恒成立，函数在上单调递减.

∴在上没有极值点；

当时，令得；

列表

所以当时， 取得极小值.

综上，当时， 在上没有极值点；

当时， 在上有一个极值点.

（2）对， 恒成立等价于对恒成立，

设函数（），则（），

令函数，则（），

当时， ，所以在上是增函数，

又， ，

所以存在，使得，即，

且当时， ，即，故在在上单调递减；

当时， ，即，故在上单调递增；

所以当时， 有最小值，

由得，即，

所以，

所以，又，所以实数的最大整数值为3.