Question

设函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R)，在点（1，f（1））处的切线斜率为-

a

2

，且a＞2c＞b．
（I）判断a，b的符号；
（II）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点
（III如果函数f（x）的单调递减区间为[m，n]，求n-m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据在点（1，f（1））处的切线斜率为-

a

2

，可知f′(1)=-

a

2

，得到a、b、c的等量关系，然后利用不等式中的放缩法可判定a与b的符号；
（2）由①得f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，讨论c的符号，当c≤0时f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0则f（x）在区间（1，2）内至少有一个极值点，当c＞0，f'（1）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0，则f（x）在区间（0，1）内至少有一个极值点，从而证得结论；
（3）由①得2c=-3a-2b，然后消去c可求出

b

a

的取值范围，根据题意可知m，n为f'（x）=0的两根，将n-m用

b

a

表示，然后根据

b

a

的取值范围可求出n-m的取值范围．

解答：.解：（1）∵f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R)，
∴f′（x）=ax²+bx+c
∵f′(1)=-

a

2

∴a+b+c=-

a

2

即3a+2b+2c=0①（1分）
又∵a＞2c＞b，
∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a，3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b，
结合①得a＞0，且b＜0（3分）
（2）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
1°当c≤0时，∵a＞0∴f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0
∴f（x）在区间（1，2）内至少有一个极值点． （5分）
2°当c＞0，∵a＞0∴f'（1）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0
∴f（x）在区间（0，1）内至少有一个极值点． （8分）
综合1°和2°得，函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．
（3）由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0，∴1＞-3-2•

b

a

＞

b

a

∴-2＜

b

a

＜-1②（9分）
∵a＞0，f'（x）为二次函数，所以m，n为f'（x）=0的两根，
则m+n=-

b

a

③mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

④（10分）
由③④得n-m=

(m+n)2-4mn

=

( b a +2)2+2

由②得

2

＜n-m＜

3

，
即n-m的取值范围是(

2

，

3

)（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及放缩法应用和函数的值域，同时考查了根与系数的关系，属于中档题．