Question

（2009•中山模拟）已知定点F（1，0）和定直线x=-1，M，N是定直线x=-1上的两个动点且满足

FM

⊥

FN

，动点P满足

MP

∥

OF

，

NO

∥

OP

（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与C相交于A，B两点
①求

OA

•

OB

的值；
②设

AF

=λ

FB

，当三角形OAB的面积S∈[2，

5

]时，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可设P（x，y），M（-1，y₁），N（-1，y₂）（y₁，y₂均不为0），利用向量的坐标运算，结合条件满足

FM

⊥

FN

，动点P满足

MP

∥

OF

，

NO

∥

OP

即可求得动点P的轨迹C的方程；
（2）将C的方程y²=4x（x≠0）与直线l的方程x=my+1联立消掉y，利用韦达定理可求得①

OA

•

OB

的值；
解法一：利用

AF

=λ

FB

，求得y4=-

2

λ

，y3=2

λ

，从而得三角形OAB的面积S=

λ

+

1

λ

，由S∈[2，

5

]即可求得λ的取值范围；
解法二：利用

AF

=λ

FB

，可求得-y₃=λy₄，而y₃y₄=-4，从而|y3|=

4

|y4|

，|y4|=

2

λ

一下同解法一．

解答：解：（1）设P（x，y），M（-1，y₁），N（-1，y₂）（y₁，y₂均不为0），
由

MP

∥

OF

得y₁=y，即M（-1，y）（2分）
由

NO

∥

OP

得y2=-

y

x

，即N(-1，-

y

x

)（2分）
∵

FM

⊥

FN

∴

FM

•

FN

=0⇒(2，-y1)•(-2，y2)=0⇒y1•y2=-4，
∴y²=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）（6分）
（2）①由（1）得P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0），F（1，0），
设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x得y²-4my-4=0．（8分）
设A，B的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），则y₃y₄=-4．
∴x3x4=

1

16

y

2 3

y

2 4

=1，（9分）
故

OA

•

OB

=x3x4+y3y 4=-3．（10分）
②解法一：∵

AF

=λ

FB

，
∴（1-x₃，-y₃）=λ（x₄-1，y₄），即

1-x3=λx4-λ -y3=λy4

又

y

2 3

=4x3，

y

2 4

=4x4．
∴可得y4=-

2

λ

，y3=2

λ

．（11分）
故三角形OAB的面积S=

1

2

|OF|•|y3-y4|=

λ

+

1

λ

，（12分）
因为

λ

+

1

λ

≥2恒成立，所以只要解

λ

+

1

λ

≤

5

．
即可解得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

．（14分）
解法二：∵

AF

=λ

FB

，
∴（1-x₃，-y₃）=λ（x₄-1，y₄），
∴-y₃=λy₄，
∴|y₃|=λ|y₄|（注意到λ＞0）
又由①有y₃y₄=-4，
∴|y3|=

4

|y4|

，
∴|y4|=

2

λ

三角形OAB的面积S=

1

2

|OF|(|y3|+|y4|)=

1

2

(2

λ

+

2

λ

)=

λ

+

1

λ

（以下解法同解法一）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查向量的坐标运算与直线与圆锥曲线的综合运用，突出考查方程思想与转化思想，属于难题．