Question

（山东卷理22）如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

 解：（Ⅰ）证明：由题意设．

由得，得，

所以，．

因此直线的方程为，

直线的方程为．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，

将其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的两根，因此，，

又，所以．

由弦长公式得．

又，

所以或，因此所求抛物线方程为或．

（Ⅲ）解：设，由题意得，

则的中点坐标为，

设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，

代入得．

若在抛物线上，则，

因此或．即或．

（1）当时，则，此时，点适合题意．

（2）当，对于，此时，，

又，，所以，

即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴，

 又，

所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．