Question

关于函数f（x）=lg

x

x2+1

，有下列结论：
①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）的最大值为-lg2；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中正确结论的序号是

①③④

．（写出所有你认为正确的结论的序号）

Answer 1

分析：f（x）有意义，真数＞0，得f（x）的定义域①；由f（x）定义域非奇非偶性②；由f（x）的真数

x

x2+1

有最大值，得f（x）最大值③； 由真数t=

x

x2+1

的增减性判定f（x）的增减性④．

解答：解：∵函数f（x）=lg

x

x2+1

有意义，∴

x

x2+1

＞0，∴x＞0，∴f（x）的定义域是（0，+∞），①正确；
∵f（x）的定义域是（0，+∞），∴f（x）是非奇非偶的函数，②不正确；
函数f（x）=lg

x

x2+1

中，设t=

x

x2+1

，则tx²-x+t=0，由（-1）²-4t•t≥0，得-

1

2

≤t≤

1

2

，只取0＜t≤

1

2

，∴t=

1

2

时，f（x）有最大值为-lg2，③正确；
又t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，当且仅当x=

1

x

，即x=1时“=”成立，∴在0＜x＜1时，t是增函数，f（x）也是增函数；
在x＞1时，ts是减函数，f（x）也是减函数；④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题利用对数函数，二次函数，基本不等式等知识，综合考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、最大最小值问题，是基础题．