Question

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。

（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON ；

（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

Answer 1

（1）

（2）见解析

解析:

 (1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：      ①                     ………2分

易知右焦点F的坐标为（），

据题意有AB所在的直线方程为：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

 

所以，即为所求。                                    ………5分

(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：

，所以

。                                   ………7分

又点在椭圆C上，所以有整理为。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A﹑B在椭圆上，故有                ⑥

将⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而

在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。

也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。