Question

如图，在△ABC中，若

BC

=

a

，

AC

=

b

，

AB

=

c

，且

|b|

=2

3

，

a

•cosA+

c

•cosC=

b

•sinB．
（1）断△ABC的形状；
（2）求

a

•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由

b

=

a

+

c

代入

a

•cosA+

c

•cosC=

b

•sinB可得

a

(cosA-sinB)=

c

(sinB-cosC)，由向量的基本定理可得

cosA-sinB=0 sinB-cosC=0

，从而可证
（2）由三角形的内角和定理可知，A=

1

2

π-

1

2

B，结合（1）知cosA=cos（

1

2

π-

1

2

B）=sin

1

2

B=sinB，从而可求B，A，C，然后由正弦定理可得，

AC

sin 2π 3

=

BC

sin π 6

可求BC，代入向量的数量积

a

•

c

=|

AB

||

BC

|cos(π-

2π

3

)可求

解答：解：（1）∵

AC

=

AB

+

BC

，

BC

=

a

，

AC

=

b

，

AB

=

c

，
∴

b

=

a

+

c

∵

a

•cosA+

c

•cosC=

b

•sinB
∴

a

•cosA+

c

•cosC= (

a

+

c

)sinB
∴

a

(cosA-sinB)=

c

(sinB-cosC)
∵

a

，

c

是两不共线的向量
∴

cosA-sinB=0 sinB-cosC=0

∴cosA=cosC
∵0＜A，C＜π
∴A=C，△ABC为等腰三角形
（2）在等腰三角形中，A+B+C=π，A=C
2A+B=π即A=

1

2

π-

1

2

B
由（1）知cosA=cos（

1

2

π-

1

2

B）=sin

1

2

B=sinB=2sin

1

2

Bcos

1

2

B
∴cos

1

2

B=

1

2

∵0＜

1

2

B＜

1

2

π
∴

1

2

B=

π

3

∴B=

2π

3

∴A=C=

π

6

由正弦定理可得，

AC

sin 2π 3

=

BC

sin π 6

∴|

BC

|=2
∴

a

•

c

=|

AB

||

BC

|cos(π-

2π

3

)=2×2×

1

2

=2

点评：本题主要考查了向量的基本运算、向量基本定理的应用，三角形的诱导公式、正弦定理等知识的综合应用，解答本题的关键除了熟练掌握基本知识外，更要具备综合应用知识的能力