Question

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线C：x²-y²=1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N₁、N₂两点，求证：对任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴随曲线C₁上总存在点S，使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c₁的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；
（2）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹；
（3）设出直线l的方程，并与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件求出

FN1

•

FN2

的范围，再求出伴随曲线C₁上的任意一点到点F的距离的平方的取值范围，即可判断出结论是否成立．

解答：解：（1）∵c=

a2+b2

，c1=

a2-b2

，
由c=2c₁，得

a2+b2

=2

a2-b2

，即a²+b²=4（a²-b²）
可得  

b2

a2

=

3

5

，
∴C的渐近线方程为y=±

15

5

x；
（2）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），又A（-2，0）、B（2，0），
∴直线PA的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)…①
直线QB的方程为y=

-y0

x0-2

(x-2)…②，
由①②得

x0= 4 x y0= 2y x

，
∵P（x₀，y₀）在双曲线

x2

4

-

y2

2

=1上
∴

42 x2

4

-

4y2 x2

2

=1，整理得

x2

4

+

y2

2

=1．
（3）证明：点F的坐标为F(-

2

，0)，直线l的方程为y=k(x+

2

)，
设N₁、N₂的坐标分别为N₁（x₁，y₁）、N₂（x₂，y₂），
则由

y=k(x+ 2 ) x2-y2=1

得x2-k2(x+

2

)2=1，
即(1-k2)x2-2

2

k2x-(2k2+1)=0，
当k≠±1时，
∵△=8k⁴+4（1-k²）（2k²+1）=8k⁴-8k⁴+4k²+4=4k²+4＞0
∴x1+x2=

2 2 k2

1-k2

，x1•x2=-

2k2+1

1-k2

，

FN1

•

FN2

=(x1+

2

，y1)•(x2+

2

，y2)=(x1+

2

)(x2+

2

)+y1y2
=(x1+

2

)(x2+

2

)+k(x1+

2

)k(x2+

2

)=(1+k2)[x1x2+

2

(x1+x2)+2]
=(1+k2)(-

2k2+1

1-k2

+

2

•

2 2 k2

1-k2

+2)=

1+k2

1-k2

由k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]知 k2∈[0，

2

2

]，
∴

1+k2

1-k2

∈[1，3+2

2

]．
∵双曲线C：x²-y²=1的伴随曲线是圆C1：x2+y2=1，圆C₁上任意一点S到F的距离|SF|∈[

2

-1，1+

2

]，
∴

SF

2∈[3-2

2

，3+2

2

]．
∵[1，3+2

2

]⊆[3-2

2

，3+2

2

]
∴对任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴随曲线C₁上总存在点S，
使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．

点评：熟练掌握双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c₁的关系、双曲线的渐近线的方程、直线相交问题、代点法求轨迹问题、一元二次方程的根与系数关系、向量的数量积的计算等是解题的关键．本题需要较强的计算能力．