Question

【题目】如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB=3km，BC=4km，DF= km，FE=3km，EC= km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y= （其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y=kx+m（其中k，m为常数）的一部分．

（1）求a，b，k，m的值；
（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．
①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l=f（t），并注明定义域；
②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：OD=BC=4，OB=FC，

∴D（0， ），E（3，4），A（ ，0），C（ ，4），

把D（0， ），E（3，4）代入y=

得： ，解得：a=﹣4，b=﹣7，

把A（ ，0），C（ ，4）代入y=kx+m

得： ，解得：k= ，m=﹣2

（2）解：由（1）得：M点在y= 上，

∴M（t， ），t∈[0，3]，

①桥MN的长l为MN到直线y= x﹣2的距离，

故l=f（x）= = |4t+ ﹣9|，t∈[0，3]；

②由①得：f（t）= |4t+ ﹣9|= |4（t﹣4）+ +7|，

而t﹣4＜0， ＜0，

∴4（t﹣4）+ ≤﹣2 =﹣12，

当且仅当4（t﹣4）= 时即t= “=”成立，

∴f（t）min= |﹣12+7|=1

【解析】（1）先求出D、E、A、C点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a，b，k，m的值即可；（2）①先表示出M点的坐标，问题转化为求M到直线AC的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．