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已知椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
(1)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(2)如图,过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
【答案】分析:(1)由题设知.由此得.设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0.由△=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,知.又,由.得-2<k<2.由此得:
(2)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等.当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为,由d=1得,当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,P(x1,kx1),则直线RQ的斜率为,得(1),同理.由此知a,b满足条件
解答:解:(1)∵椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
.解得a=2,b=1,∴
显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).(5分)
得(1+4k2)x2+16kx+12=0.∵△=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,


.∴
所以=∴-2<k<2.
由此得:
(2)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等.
当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为,由d=1得
当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,P(x1,kx1),则直线RQ的斜率为
,得(1),同理
在Rt△OPQ中,由,即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2
所以,化简得


综上,d=1时a,b满足条件
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
3
2

(1)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(2)如图,过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

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科目:高中数学 来源: 题型:

注意:第(3)小题平行班学生不必做,特保班学生必须做.
已知椭圆的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点,离心率e=
2
5
,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点,且(
MA
+
MB
)⊥
AB
,求m的取值范围;
(3)设点C是点A关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线?若存在,求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
3
2

(1)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(2)如图,过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的焦点在x轴上,其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在直线: 上.

(I)求椭圆方程;

(II)过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A、B两点,交直线于点C,设O为坐标原点,且,求的面积.

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