Question

圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，

（1）当＝135^０时，求;
（2）当弦被点平分时，求出直线的方程;
（3）设过点的弦的中点为，求点的坐标所满足的关系式.

Answer 1

（1）(2) (3)

试题分析：（1）要求弦长,可利用弦长公式,即将弦所在的直线方程,与圆的方程联立,之后所得的二次方程中,利用求之.还可以利用圆中求之,其中是圆心到弦所在直线的距离,指弦长.但是不论采取哪种方法,都先得求出弦所在的直线方程.根据题意,点斜式可求出.
(2)当弦被平分时,弦所在直线被直线垂直且平分.所以,可先求出直线斜率, 根据垂直可知直线斜率,又因为直线过点,根据点斜式可求出直线.
(3)因为过点的弦可分为三种情况,①无斜率,此时,;②斜率为0,此时平行x轴， ；③直线有斜率，且不为0，此时，根据斜率相乘等于-1可找到点轨迹，将①②代入③中验证即可.
试题解析：（1）当时，直线的斜率为-1，根据点斜式有,直线的方程，
所以圆心到直线的距离为，又因为 ,
所以根据,解得
（2）当弦被平分时，，，
又因为直线过点,所以根据点斜式有直线的方程为.
（3）设的中点为，则   ,即 
当的斜率和的斜率都存在时：有

当斜率不存在时点满足上式，
当斜率不存在时点亦满足上式，
所以点的轨迹为。