Question

给定矩阵A=

2 3

1 0

，B=

2 -2

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量

α1

，

α2

；
（2）求A⁴B．

Answer 1

分析：（1）先写出矩阵A的特征多项式，令其为0，可求特征值，进一步可求特征向量；
（2）先将矩阵B用

α1

，

α2

线性表示，再利用线性变换的性质求解．

解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=

.

λ-2 -1 -3 λ

.

=λ2-2λ-3=0
令f（λ）=0，∴λ₁=3，λ₂=-1，从而求得对应的一个特征向量分别为

α1

=(1，1)，

α2

=(-1，3)
（2）令B=m

α1

+n

α2

，求得m=1，n=-1．
∴A⁴B=1×3⁴×（1，1）-1×（-1）⁴×（-1，3）=（82，78）

点评：本题的考点是特征值与特征向量的计算，主要考查求矩阵的特征值及特征向量，关键是理解定义，正确写出特征多项式．