Question

已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量

m

=(2

3

sin

B

2

，

3

2

)，

n

=(sin(

B

2

+

π

2

)，1)，且

m

•

n

=

3

（1）求角B的大小；
（2）若角B为锐角，a=6，S△ABC=6

3

，求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数，求出B的正弦函数值，然后求出角B的大小；
（2）通过角B为锐角，a=6，S△ABC=6

3

，求出c的大小，利用余弦定理直接求实数b的值．

解答：解：（1）因为向量

m

=(2

3

sin

B

2

，

3

2

)，

n

=(sin(

B

2

+

π

2

)，1)，且

m

•

n

=

3

所以

m

•

n

=2

3

sin 

B

2

cos

B

2

+

3

2

=

3

，
∴sinB=

1

2

，因为B是三角形内角，所以B=

π

3

或B=

2π

3

．
（2）因为角B为锐角，a=6，S△ABC=6

3

，
所以

1

2

acsinB=6

3

，所以c=4，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=36+16-24=28，
所以实数b=2

7

．

点评：本题通过平面向量的数量积考查二倍角公式、三角形的面积以及余弦定理的应用，考查计算能力．