Question

已知函数的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为的保值区间.
（Ⅰ）求函数形如的保值区间；
（Ⅱ）函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）或.（Ⅱ）不存在

解析试题分析：（Ⅰ）因为时值域为。所以要使为保值区间，则。根据保值区间的定义可得，解方程即可得。（Ⅱ）将去绝对值改写为分段函数，讨论其单调性。同时讨论与单调区间的关系。根据保值区间的定义列方程计算。
试题解析：解（Ⅰ），又在是增函数，. . .
函数形如的保值区间有或.      2分
（Ⅱ）假设存在实数a，b使得函数，有形如的保值区间，则.              4分
当实数 时，在上为减函数，故，
即  =b与＜b矛盾.
故此情况不存在满足条件的实数a，b.      5分
（2）当实数时，在为增函数，故 
即得方程在上有两个不等的实根，而，
即无实根.
故此情况不存在满足条件的实数a，b.      6分
（3）当，，，而，.
故此情况不存在满足条件的实数a，b.                 7分
综上所述，不存在实数使得函数，有形如的保值区间.   8分
考点：对新概念的理解和运用，考查对所学知识的综合运用及分析能力和解决问题的能力。