Question

在数列{a_n}中a1=

1

2

，a2=

1

5

，且an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
（1）求a₃、a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an•an+1

an + an+1

，求证：对?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，计算a₃、a₄，猜想通项，利用数学归纳法证明数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，再用分析法进行证明．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，a2=

1

5

，an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
∴a₃=

1

8

，a₄=

1

11

，
猜想an=

1

3n-1

，利用数学归纳法证明如下：
①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；
②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=

1

3k-1

则n=k+1时，ak+1=

(k-1)ak

k-2ak

=

(k-1)• 1 3k-1

k-2• 1 3k-1

=

k-1

(3k+2)(k-1)

=

1

3(k+1)-1

∴n=k+1时，结论成立
综上，an=

1

3n-1

；
（2）证明：bn=

an•an+1

an + an+1

=

1

3

（

3n+2

-

3n-1

）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

5

-

2

）+（

8

-

5

）+…+（

3n+2

-

3n-1

）]=

1

3

（

3n+2

-

2

）
要证b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

，只需证明

1

3

（

3n+2

-

2

）＜

3n-1

3

即证

3n+2

-

2

＜

3n-1

即证3n+2-2

6n+4

＜3n-1
即证

6n+4

＞

3

2

，显然成立
∴b₁+b₂+…+b_n＜

3n-1

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．