Question

【题目】已知函数，．证明：

（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；

（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<2．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.

(2)令,换元将m再构造函数,分析的单调性,结合(1)中的结论求得存在唯一的,使,再根据零点的大小关系即可证明.

证明：(1)当x∈（0,1）时,f′(x)＝＞0,函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0,f(1)＝3>0,所以存在唯一x0∈（0,1）,使f(x0)＝0．

(2)当x∈（1,2）时,,

令,x=2-t,x∈（1,2）,t∈（0,1）,

,t∈（0,1）

记函数,t∈（0,1）．

则h′(t)＝．

由(1)得,当t∈(0,x0)时,f(t)<0,h′(t)＞0,

当t∈(x0,1)时,f(t)>0,h′(t)<0．

故在(0,x0)上h(t)是增函数,又h(0)＝0,从而可知当t∈(0,x0]时,h(t)>0,所以h(t)在(0,x0]上无零点．

在(x0,1)上h(t)为减函数,由h(x0)>0,h(1)＝－ln2<0,知存在唯一t1∈(x0,1),使h(t1)＝0,

故存在唯一的t1∈(0,1),使h(t1)＝0．

因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1,2),使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．

因为当t∈(0,1)时,1＋t>0,故与g(2－t)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈（1,2）,使g(x1)＝0．

因为x1＝2－t1,t1>x0,所以x0＋x1<2．