Question

已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m、a∈R）交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当m=0时，有∠AOB=

π

3

，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有

OA

•

OB

为定值T？指出T的值；
（3）已知点M（0，-1），当a=-2，m变化时，动点P满足

MP

=

OA

+

OB

，求动点P的纵坐标的变化范围．

Answer 1

分析：（1）当m=0时，推出A，B的坐标，利用∠AOB=

π

3

，求出a的值，即可得到曲线C的方程；
（2）设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），联立方程，通过韦达定理结合

OA

•

OB

的表达式为定值T，即可求出a的值以及T的值；
（3）设出动点P，求出

MP

=

OA

+

OB

，结合（2）求出y=

2+m2

2-m2

，通过判别式求出m的范围，即可求动点P的纵坐标的变化范围．

解答：解：（1）当m=0时，联立方程可得：ax²=1，∴x=±

1 a

∴A(

1 a

，1)，B(-

1 a

，1)，∵∠AOB=

π

3

，∴

1

2

=

- 1 a +1

1 a +1

解得：a=3，
∴方程为

3x2

2

+

y2

2

=1
（2）设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），联立方程：

y=mx+1 ax2+y2=2

可得：
（a+m²）x²+2mx-1=0
∴

x1+x2=- 2m a+m2 x1x2=- 1 a+m2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)=（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=-

m2+1

a+m2

-

2m2

a+m2

+1=

a-2m2-1

a+m2

要使

OA

•

OB

=T，则-2m²+（a-1）=Tm²+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=

1

3

且T=-2
而当a=

1

3

时，

1

3

+m2≠0且△=4m2+4(

1

3

+m2)=8m2+

4

3

＞0恒成立∴当实数a=

1

3

时，对任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2
（3）设P（x，y），∴

MP

=(x，y+1)，∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=

4

2-m2

∴y=

2+m2

2-m2

又对方程（m²-2）x²+2mx-1=0，△=8m²-8＞0，∴m²＞1且m²≠2
∴y=-1+

4

2-m2

，∴y＞3或y＜-1

点评：本题难题，考查曲线的轨迹方程的求法，韦达定理的应用，向量的数量积的计算以及判别式的应用，考查计算能力，转化思想，整体思想的应用，变量范围问题一般通过一个等式与一个不等式求解．