Question

椭圆:的左顶点为,直线交椭圆于两点(上下),动点和定点都在椭圆上.
(1)求椭圆方程及四边形的面积.
(2)若四边形为梯形,求点的坐标.
(3)若为实数,,求的最大值.

Answer 1

(1)；.(2). (3).

解析试题分析：（1）将D的坐标代入即得，从而得椭圆的方程为.
将代入得.由此可得和的面积，二者相加即得四边形的面积.（2）在椭圆中AP不可能平行BC，四边形ABCP又为梯形，所以必有，由此可得直线PC的方程，从而求得点P的坐标.（3）设，由得则与间的关系，即，又因为点P在椭圆上，所以，由此可得，这样利用三角函数的范围便可求得的最大值.
（1）因为点D在椭圆上，所以，
所以椭圆的方程为.
易得：，的面积为.
直线BD的方程为，即.所以点A到BD的距离为，，.
所以.
（2）四边形ABCP为梯形，所以，直线PC的方程为：
即.代入椭圆方程得（舍），
将代入得.所以点P的坐标为.
（3）设，则，即
因为点P在椭圆上，所以，
由此可得，
所以.
考点：1、椭圆的方程；2、四边形的面积；3、向量.