Question

设定函数 (＞0)，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析试题分析：由 得
因为的两个根分别为1,4，所以       （*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解     得
即的取值范围
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，待定系数法。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（II）将函数问题转化成不等式恒成立问题，通过对方程实根的讨论及研究，确定得到参数的范围。