Question

【题目】已知函数， ．

（1）试比较与的大小关系，并给出证明；

（2）解方程： ；

（3）求函数， （是实数）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．（3）

【解析】试题分析：（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数， （是实数）的最小值.

试题解析：（1）因为，

所以．

（2）由，得，

令，则，故原方程可化为，

解得，或（舍去），

则，即，解得或，

所以或．

（3）令，则，

函数可化为

①若，

当时， ，对称轴，此时；

当时， ，对称轴，此时，

故， ．

②若，

当， ，对称轴，此时；

当时， ，对称轴，此时，

故， ．

③若，

当时， ，对称轴，此时；

当时， ，对称轴，此时，故， ；

④若，

当时， ，对称轴，此时；

当时， ，对称轴，此时，

则时， ，

时， ，

故，

⑤若，

当时， ，对称轴，此时；

当时， ，对称轴，此时，

因为时， ，

故， ．

综述：