Question

（2005•湖南）设函数f （x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（n∈N^*），
（i）y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为

4

3

；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为

π+

2

3

．

Answer 1

分析：（i）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积，得出函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积是函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积．
（ii）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，同理可求．

解答：解：（i）∵函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（（n∈N₊），∴对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积为：

2

3

，则函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为

2

3

×2=

4

3

（ii）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，∴y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为π+

2

3

故答案为：

4

3

，π+

2

3

点评：在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．