Question

【题目】已知圆，圆，动圆与圆内切并且与圆外切，圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知曲线与轴交于两点，过动点的直线与交于 (不垂直轴)，过作直线交于点且交轴于点，若构成以为顶点的等腰三角形，证明：直线， 的斜率之积为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）圆与圆外切且与圆内切，所以，椭圆的定义可知，曲线是以， 为左、右焦点，长半轴长为3，短半轴长为的椭圆(右顶点除外)，进而得椭圆方程；

（Ⅱ）设直线的方程为， ， ，与椭圆联立得，若构成以为顶点的等腰三角形，则，得，结合韦达定理得，由即可得解.

试题解析：

（Ⅰ）由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.

设圆的圆心为，半径为.

因为圆与圆外切且与圆内切，

所以，

由椭圆的定义可知，曲线是以， 为左、右焦点，长半轴长为3，短半轴长为的椭圆(右顶点除外)，

其方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为， ， ，

联立方程组消去，得，

由根与系数关系，得

若构成以为顶点的等腰三角形，则，

即.

设，则，即，

,

化简得，

所以为定值.