Question

【题目】已知数列，若对于任意数列满足，则称数列为“数列”．

（Ⅰ）已知数列：，，是“数列”，求实数的取值范围．

（Ⅱ）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且前项和满足，若存在，求出的通项公式，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列，试判断数列是否“数列”，并且说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）当时，数列为“数列”，当时，数列不是“数列”．

【解析】

（Ⅰ）利用“K数列”定义得到即得m的取值范围. （Ⅱ）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，找到矛盾，得到不存在这样的数列. （Ⅲ）由各项均为正整数的等比数列是“数列”得到，再由数列不是“数列”得到即得，所以，或，．再分别判断数列是否“数列”.

（I）根据题意得：，

∴，

∴，

故实数的取值范围是．

（II）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，由，得，

根据题意得对均成立，

即，

①当时，．

②当时，，

因为，

所以，与矛盾，

故这样的的等差数列不存在．

（III）设数列的公比为，则，

因为的每一项均为正整数，且，

所以且，

因为，

所以在中，“”为最小项，

同理，在中，“”为最小项，

由为“数列”，只需，

即：，

又因为不是“数列”且“”为最小项，

所以，即：，

由数列的每一项均为正整数，可得，

所以，或，．

①当，时，，则，

令，

又，

所以为递增数列，即：，

所以，

因为，所以对任意的，都有，

即数列为“数列”．

②当，时，，则，

因为，

所数数列不是“数列”，

综上所述，当时，数列为“数列”，

当时，数列不是“数列”．