Question

【题目】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn} 满足anbn+1﹣an+1bn﹣2an+1an=0．
（1）令 ，求证数列{cn}为等差数列；
（2）若 ，求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn﹣2bn+1bn=0，

∴ ．

∵cn= ，

∴cn+1﹣cn=2，

∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，

∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴cn=2n﹣1

（2）解：∵bn=3n﹣1，cn═ ，

∴an=（2n﹣1）3n﹣1，

∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，

∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，

∴﹣2Sn=1+2（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n，

∴Sn=（n﹣1）3n+1

【解析】（1）由anbn+1﹣an+1bn﹣2bn+1bn=0，cn= ，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．