Question

【题目】给出下列命题：
1）已知两平面的法向量分别为 =（0，1，0）， =（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；
2）若曲线 + =1表示双曲线，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；
3）已知双曲线方程为x2﹣ =1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）
【解析】解：对于（1），两法向量的夹角为cos＜ ， ＞= = ，即有两平面所成的二面角为45°或135°，故（1）正确；
对于（2），曲线 + =1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，
故（2）正确；
对于（3），设过P（1，1）点的直线AB方程为y﹣1=k（x﹣1），
代入双曲线方程得
（2﹣k2）x2﹣（2k﹣2k2）x﹣（k2﹣2k+3）=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则有x1+x2= ，
由已知 =xp=1，
∴ =2．解得k=2．
又k=2时，△=（4﹣8）2+2（2﹣4）（4﹣4+3）=4＞0，
从而直线AB方程为2x﹣y﹣1=0．
故（3）正确．
所以答案是：（1）（2）（3）．
【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．