Question

求函数y=

sin2x+3cosx-4

cosx-2

的值域．

Answer 1

分析：利用三角公式把函数表达式化简，并进行常数分离，换元构造一个新函数，注意新函数自变量的范围，利用新函数的单调性求出函数的值域．

解答：解：y=

1-(coax)2+3cosx -4

cosx -2

=

-cosx(cosx -2)+(cosx -2)-1

cosx - 2

=-cosx+1-

1

cosx -2

=-（cosx-2）+

-1

cosx -2

-1=（2-cosx ）+

1

2 - cosx

-1，
又  1≤2-cosx≤3，∴

1

3

≤

1

2 - cosx

≤1，
令2-cosx=t，则  y=t+

1

t

-1，且 1≤t≤3
∵函数 y=t+

1

t

-1，在区间 （1，3）上是单调增函数，
∴t=1 时，函数 y=t+

1

t

-1 有最小值1，
t=3时，函数 y=t+

1

t

-1 有最大值

7

3

．

点评：本题考查余弦函数的单调性，体现换元的数学思想，换元中，注意新变量的范围．