Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=VC=  

（1）求证：平面VAB平面VCD；

（2）若线段AB上的一点E, 使得直线VD与平面VCE所成的角的正弦为,试确定E的位置

Answer 1

（1）略（2）点E位于线段AD的中点或线段BD 的中点.  

解析:

方法1：（1）∵AC=BC，∴是等腰三角形，

又D是AB的中点，∴，

又底面，∴。于是平面,

又平面，∴平面平面。             …………5分

（2）过点D在平面ABC内作于F，则由题意知平面VCE。连接VF，于是就是直线VD与平面VCE所成的角。           …………7分

在中，；

又VD= ,  ∴                        …………9分

在中可求出DE=1                               ………11分

故知点E位于线段AD的中点或线段BD 的中点.             ………12分

方法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、    y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则, , ,

于是 ,  

∴=0,  ∴

又底面, , 于是平面

又平面，∴平面平面

（2）由（1）知 ，

因为E点在线段AB上，而AB线上的点都满足，且z=0.

所以可设,那么

另设平面VCE的法向量，

由,  ,可求n=0,

又因为直线VD与平面VCE所成的角的正弦为,

所以

解之有x= 或x=

故点 或, 分别为线段BD的中点和线段AD的中点